Béres Zoltán
A problémamegoldó gondolkodás fejlesztésének tíz szabálya a matematikában

Összefoglaló: A cikk elsősorban A.Schoenfeld és Pógya Gy. eredményei alapján gyakorlati tanácsokat ad matematikatanároknak a problémamegoldó gondolkodás fejlesztéséhez.
Kulcsszavak: problémamegoldás, gondolkodás, matematikatanítás.

Tartalom:
    Bevezetés
    Lehet matematika nélkül is
    Egyik lehetőség: a matematika
    Mit nevezünk problémának?
    A problémamegoldó gondolkodás négy fő mozzanata
    A probléma megoldásához rendelkezésünkre álló ismeretek alkalmazása
    Hogyan oldjunk meg egy feladatot?
    Nem csodaszer!
    A problémamegoldás menetének kritikus értékelése
    Miért nem elég sablonfeladatokat gyakoroltatni?
    A problémákhoz való általános viszonyulás jelentősége
    A tapasztalati tényező
    A „józan paraszti ész”
    Összefoglalás
    Felhasznált irodalom
    Rezime

Bevezetés                                                                                      az oldal tetejére

Két ember beszélget:
– Nagyon kipihentnek tűnsz!
– Nem csoda. Alkalmaztam főállásban egy embert, akinek az a dolga, hogy megoldja minden problémámat!
– Ne mondd! És miből fizeted!
– Látod, ez is az ő problémája.

A fenti viccből is érzékelhető az ember vágya egy olyan életvitel iránt, amelyben minden problémáját meg tudja oldani, nem kell tartania a megoldhatatlan problémáktól.

Mindannyian tisztában vagyunk azzal, hogy mindennapi problémáink annyira szerteágazóak, annyira sokszínűek, hogy egyetlen receptet találni megoldásukra szinte lehetetlen, azaz ha sikerülne is ilyet találni, az valószínűleg annyira általános utasításokat tartalmazna, hogy a konkrét esetben nem mennénk vele sokra.
A problémamegoldással kapcsolatban rengeteg kérdés (ironikusan fogalmazva: újabb probléma) merül föl: ha egy problémát sikeresen megoldunk, nem lehetne-e a megoldásának eredményét vagy a megoldásának módját alkalmazni más megoldásra váró problémára? Érdemes-e a problémáinkat valamiféleképpen csoportosítani? Hogyan álljunk hozzá általában egy problémához? Lehet-e fejleszteni a problémamegoldó készségünket, és ha igen, hogyan?
Ez utóbbi kérdésre keresem a választ ebben az írásomban.

Lehet matematika nélkül is                                                               az oldal tetejére

Autóvezetői vizsgára készülve először egy elméleti tesztet kell eredményesen kitöltenünk. A teszt részben lexikális tudást (szabályok, előírások, közlekedési jelek ismerete), másrészt leírt, lerajzolt problémahelyzetek megoldásának készségét kéri számon. Jelent témánk szempontjából az utóbb megfogalmazott készség fejlesztésének a módja lehet tanulságos. A vizsgázó feladata itt az, hogy a megtanult szabályokat és korábbi tapasztalatokat minél gyorsabban, minél hatékonyabban alkalmazza konkrét szituációkban. A felkészülés már megoldott szituációk tanulmányozásával történik, amely egyszerre segíti a szabályok bevésését és a tapasztalatok szaporodását.
Másik példának a sakkozók felkészülését említem meg: a sakkozók idejük nagy részét korábban lejátszott játszmák illetve más állások elemzésével töltik.

Mindkét példa azt a sejtésünket erősíti, hogy a problémamegoldó készség fejlesztése sok problémával való szembesüléssel, illetve problémaszituációk elemzésével érhető el. Az is világos, hogy a leendő autóvezető közlekedési helyzeteket, a sakkozó sakkjátszma-állásokat elemez, hiszen problémamegoldó készségének fejlődését elsősorban ezen a területen kívánja kamatoztatni. Feltehető azonban, hogy az itt szerzett készségek kihatnak az általános problémamegoldó készségre is. Felmerül a kérdés: melyik az a tudományág, melyik az a műveltségi terület, amely az általános problémamegoldó készséget a leghatékonyabban fejleszti?

Egyik lehetőség: a matematika                                                               az oldal tetejére

Ahogyan a testnevelésóra kiválóan alkalmas arra, hogy a környezetünkből jövő ingerekre adott mozgásos válaszainkat finomítsuk, válaszaink készletét bővítsük, ugyanígy a matematikaóra az, amely a környezetünkből jövő ingerekre adott gondolati válaszaink minőségének javítására, finomítására, gazdagítására leginkább alkalmas.
Matematikaórán a tanár minden kötöttség nélkül variálhatja a feladat feltételeit, mert általában nem valós helyzetből indul ki. Ezt a szabadságot sem a természet-, sem a társadalomtudományi tantárgyak tanulmányozása nem biztosítja.
A matematika azért sem megkerülhető, mert a valós, „hétköznapi” élet problémáinak megoldása gyakran úgy történik, hogy a problémaszituációnak elkészítjük a számunkra fontos szempontok szerint releváns matematikai modelljét, majd ezt a modellt elemezve kapjuk meg a matematikai megoldást, amelyet visszavetítve az eredeti, „életből merített” problémára kapunk egy választ. Rényi Alfréd (1966) erről így ír: „Aki a matematikát sikerrel akarja alkalmazni a gyakorlatban, annak álmok álmodójának kell lennie.”

Be kell ismernünk, hogy a matematikatanítás nem mindig éri el a célját. Erről ír Dienes Zoltán (1973) is: „Szembe kell néznünk azzal a sajnálatos ténnyel, hogy a gyerekek nagy többsége számára a legtöbb tanult matematikai eljárásnak nincs semmi egyéb valóságos értelme, mint magának az eljárásnak a tulajdonságai.” Dienes a megoldást abban látja, hogy a tanulónak több olyan problémát is mutatnunk kell, amelyek azonos matematikai tartalomra vezethetők vissza. A sokféle probléma megismerése segíti a tanulót abban, hogy minél inkább felismerje azt, ami általános, és így képessé váljon alkalmazni azt az órán nem látott helyzetekben is („transzfer”).

Mit nevezünk problémának?                                                                   az oldal tetejére

Alan Schoenfeld (1985) A matematikai probléma megoldás (Mathematical Problem Solving) című könyvének több gondolatára is hivatkozni fogok a továbbiakban.
Matematikai problémának tekintjük az olyan matematikafeladatot, amelynek megoldására nem áll rendelkezésünkre rutinszerű, egyből alkalmazható eljárás.
Itt két nagyon fontos dolgot kell észrevennünk: két 10 jegyű szám összeszorzását a fenti meghatározás értelmében nem tekintjük problémának, mert tudjuk, hogyan kell elvégezni, attól függetlenül, hogy a szorzás elvégzése esetleg sokáig tart, vagy elkövethetünk benne hibát. Ezek szerint a problémamegoldás mindig alkotó szellemi erőfeszítést, szellemi erőforrásunk hatékony alkalmazását követeli meg.
A másik jellemzője a problémának, hogy a problémát a problémamegoldó személlyel együtt kell vizsgálnunk. Egy középiskolásnak például nem jelent problémát egy másodfokú egyenlet megoldása, míg egy általános iskolás tanulónak igen, így a problémamegoldó gondolkodás fejlesztését célként kitűző tanár csak akkor lehet sikeres, ha pontosan tisztában van diákjai képességével, pillanatnyi tudásszintjükkel.

A problémamegoldó gondolkodás négy fő mozzanata                              az oldal tetejére

A problémamegoldás során négy tényező játszik fontos szerepet egymástól nem feltétlenül élesen elkülöníthetően (Schoenfeld, 1985):
1. az adott problémával kapcsolatos ismeretanyag birtoklása (Resources);
2. az ismeretek a problémamegoldás szempontjából alkotó módon történő alkalmazása (Heuristics);
3. a problémamegoldás menetének kritikus értékelése (Controll) és
4. a problémamegoldó személy matematikához, matematikai problémákhoz való általános viszonyulása (Belief System)

E cikknek nem célja a fenti pontok részletes tárgyalása, ám ahhoz, hogy a tanítási gyakorlattal kapcsolatos következtetéseket levonhassunk, érintenünk kell néhány, a fenti felosztáshoz kapcsolódó kérdést.

A probléma megoldásához rendelkezésünkre álló ismeretek alkalmazása                                                                                      az oldal tetejére

MINTAFELADAT: Adott egy síkban egy kör és egy pont. Szerkesszük meg a pontra illeszkedő és a kört érintő egyenest!
Ha a tanulónak a feladatra nincs kész válasza, illetve nem ismer olyan eljárást, amely a megoldást adja, akkor egy problémahelyzettel áll szemben. Ahhoz, hogy a feladat valóban fejlessze a problémamegoldó készségét, ismernie kell a feladatban szereplő fogalmakat. Ha nem tudja, mit jelent az érintő egyenes fogalma, akkor nem érti a probléma lényegét. Ha nincs tisztában a szerkesztési lépésekkel, akkor vonalzóját ügyesen elhelyezve megrajzolja az érintő egyenest addig mozgatva a vonalzót, amíg az a szerinte megfelelő helyzetbe nem kerül, de ez az eljárás nem nevezhető szerkesztésnek.
A fenti példa jól szemlélteti a következő fontos elvet: 1. SZABÁLY: a problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére csak olyan feladatok alkalmasak, amelyek a tanuló számára ismert fogalmakat, fölismerhető összefüggéseket tartalmaznak.
Gyakori eset, hogy a tanuló feladatmegoldás során egy szabályra, összefüggésre, fogalomra hibásan emlékezik vissza. Erre csak akkor jöhetünk rá és ezt a hibát akkor javíthatjuk ki, ha munkájának értékelésekor nem csak a hibás végeredményre mutatunk rá, hanem felhívjuk a figyelmét a megoldásában szereplő hibás lépésre. A hibás gondolkodási lépést nem „hatalmi” szóval kell kijavítanunk, hanem lehetőleg „reductio ad absurdum” útján például úgy, hogy más, egyszerűbb példán keresztül ráébresztjük hibás gondolatmenetének tarthatatlanságára. 2. SZABÁLY: a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése érdekében a tanulóinknál nem csak a gondolkodási tevékenységük eredményét kell ellenőriznünk, hanem hibás gondolatsor esetén fel kell velük fedeztetnünk elkövetett hibáikat is.

Hogyan oldjunk meg egy feladatot?                                                          az oldal tetejére

1945 júniusában jelent meg először az Egyesült Államokban a magyar származású Pólya György könyve How To Solve It (Hogyan oldjuk meg?) címmel. A könyv három év alatt újabb 4 kiadást ért meg és magyarul is megjelent A gondolkodás iskolája címmel (1956). A mű előszavában Pólya a következőket írja: „E sorok írója […] mindig azon van, hogy megértse ne csak ennek vagy annak a feladatnak a megoldását, hanem a megoldás alapgondolatát és a rávezető eljárásokat is, és megpróbálja ezeket másoknak átadni. […] Reméli, hogy ezzel hasznára lesz a tanároknak, akik ki akarják fejleszteni tanítványaik feladatmegoldó készségét és a diákoknak, akik saját maguk is szeretnének belejönni a feladatmegoldásba.”
Természetesen nem fogom az egész könyvet szó szerint idemásolni, de Pólya munkássága ezen a ponton megkerülhetetlen. Az ő nevéhez fűződik az általa modern heurisztikának nevezett módszer megalapozása (a schoenfeldi négyes felosztásban is szerepel ez a szó – lásd feljebb). Pólya megpróbálja a feladatmegoldó gondolkodás elemekre bontását, ezt igyekszik minél általánosabban leírni, továbbá konkrét tanácsokat ad tanároknak a feladatmegoldó gondolkodás fejlesztéséhez (könyve elképzelt tanár–diák párbeszédeket is tartalmaz).
Pólya a sikeres feladatmegoldás kulcsát a helyes kérdések feltevésében látja. A mintafeladatban például a következő kérdéseket lehetne megfogalmazni: Mit tudunk a kör érintőjéről? Készíts vázlatot! Látsz-e a rajzon valamilyen különleges síkidomot? Valóban derékszögű háromszöget látunk? Hogyan tudnánk az érintési pontot megszerkeszteni? Tanultál-e valamilyen alkalmazható tételt? Mit tudunk a Thalesz-körről? Egy-egy ilyen kérdés alapján előhívott gondolatsort a továbbiakban gondolkodási stratégiának nevezzük.
Ha a tanár állandóan kérdésekkel ostromolja a diákot, az megszokja ezt a fajta útkeresést, felfigyel arra, hogy bizonyos kérdések ismétlődnek, és képessé válik, hogy a kérdéseket maga is feltegye saját magának. Pólya azt is hangsúlyozza, hogy „mindig igyekezzünk olyan kérdést feltenni, olyan lépést javasolni, amely a diáknak magának is eszébe juthatott volna”. 3. SZABÁLY: ez alapján elfogadhatjuk, hogy a probléma-megoldó gondolkodás fejlesztése során elengedhetetlen a megfelelő számú és minőségű kérdés feltevése, a tanuló párbeszédre kényszerítése.

Nem csodaszer!                                                                                      az oldal tetejére

Schoenfeld az említett könyvében miközben elismeri Pólya munkásságát, sőt bizonyos értelemben ihletőjének tartja, erős kritikát fogalmaz meg a Pólya-féle kérdésostrommal szemben. Egyrészt túl általánosnak tartja, másrészt komoly buktatót lát abban, hogy a feladatmegoldás során a különböző kérdéseket és a rá adott válaszokat – ha egyáltalán képesek vagyunk a megoldás felé vivő választ adni – állandóan értékelni, elemezni kell, és ez alapján újabb kérdéseket megfogalmazni. A mintafeladathoz fűzött kérdésekkel kapcsolatban felmerül a következő: Mi van akkor, ha a tanuló nem tudja a választ a feltett kérdésre, vagy olyan választ ad, amely a problémamegoldást zsákutcába viszi? Egyik sem ritka. Ilyenkor türelemmel újabb – lehetőleg egyszerűbb – segítő kérdéseket teszünk föl mindaddig, míg a tanuló „szilárd talajt” nem érez a lába alatt. Hagynunk kell őt bemenni a zsákutcába mindaddig, míg ő maga be nem látja, hogy zsákutcába került. 4. SZABÁLY: ez alapján elmondhatjuk, hogy a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése során elegendő időt kell biztosítanunk a tanulónak arra, hogy a megfelelő ismereteit alkalmazza, illetve hogy a zsákutcába vezető gondolatait önmaga korrigálja.
Schoenfeld arra is felhívja a figyelmet, hogy a heurisztikus megközelítése a problémáknak egyáltalán nem halványíthatja el a feladathoz kapcsolódó témakör tökéletes ismeretének fontosságát, illetve az idevágó tárgyi tudás jelentőségét. Erről már volt szó (a schonfeldi felosztás első pontja), úgy tűnik, körben forgunk. Van innen kiút?

A problémamegoldás menetének kritikus értékelése                                  az oldal tetejére

A Schoenfeld által angolul Controllnak nevezett elem már Pólyánál is jelen van az említett könyv szótárrészében a következő címszavak alatt: Az értelmes feladatmegoldó; Előrehaladás és elért eredmény; Előrehaladásunk jelei; Tervünk végrehajtása; Vizsgáld meg a sejtésedet!
Mindkét szerző aláhúzza, hogy az eredményes feladatmegoldás nem lehetséges a feladatmegoldó folyamat során hozott döntéseink állandó értékelése, korrigálása nélkül. Szendrei Julianna (2005) erről így ír: „A problémamegoldás sikere éppen abban áll, hogy a zsákutcából, amibe időnként belekeveredünk, ki tudunk-e szabadulni, és újból olvasunk, vagy újraértelmezünk, és így tovább.”
A saját gondolkodásunkról való gondolkodást szakszóval metakogníciónak nevezzük. Az eddigiekben szándékosan kerültem – és a továbbiakban is azt fogom tenni – a problémamegoldás folyamatának pszichológiai vonatkozásait. Nem foglalkoztunk az emlékezéssel, az önállósággal, az önbizalommal és más a pszichológia tárgykörébe (is) tartozó fogalommal. Itt azonban egy pszichológusra, az orosz Vigotszkijra kell hivatkoznom, aki szerint az értelmi fejlődésében minden két síkon játszódik le: először egy szociális síkon, más emberek társaságában (interpszichológiai sík), majd belül az egyénben (intrapszichológiai sík). Ahhoz, hogy egy ismeret, egy intellektuális viselkedési modell belsővé váljék, elengedhetetlen a párbeszéd, az egymás közötti interakció. Ez a modell felhívja a figyelmet a belső párbeszéd fontosságára is. Valószínűleg mindannyian megéltük már azt az élményt, hogy miközben valakinek (vagy magunknak) magyaráztunk, egyszeriben világossá váltak korábban homályosnak vélt összefüggések. 5. SZABÁLY: ezért törekednünk kell a problémamegoldó gondolkodás hatékony fejlesztése érdekében olyan helyzetekbe hozni tanulóinkat, hogy vitatkozzanak egymással vagy velünk. Legyen beszédtéma egy-egy gondolat vagy javaslat, vitatkozzunk róla, érveljünk, indokoljunk!

Miért nem elég sablonfeladatokat gyakoroltatni?                                  az oldal tetejére

Kísérletekkel igazolták, hogy a sablonfeladatok gyakoroltatása az egyes feladatmegoldó stratégiák technikai kivitelezését tökéletesíti, de önmagában véve nem segíti elő az egyes stratégiák közül az adott feladat megoldásánál eredményt hozó megfelelő stratégia kiválasztását. Egy sablonfeladatokhoz szokott diák egy problémahelyzetben általában kritika nélkül alkalmazni kezd egy megoldási stratégiát, és miután nehézségekbe ütközik, gyakran képtelen a feladat újragondolására, hiszen a sablonfeladatok gyakorlásánál nem szerzett ilyen tapasztalatokat.
Schonfeld felhívja a figyelmet a problémamegoldás során hozott döntéseink tudatos figyelésének taníthatóságára. Ugyan erre a következtetésre jutott Kosztolányi József (2006) is doktori értekezésében: „A heurisztikus problémamegoldó stratégiák tanításának mindenképpen helye van a leendő matematikatanárok képzésében”. És nem csak a tanárképzésben, hanem szélesebb körben is.
A mintafeladathoz visszatérve: a szerkesztés leírása (esetleg elvégzése) után tekintsük át a megoldási lépéseket, a megoldási folyamat során felmerült ötleteket értékeljük újra most már a megoldás ismeretében, esetleg próbáljunk más megoldásokat is találni, illetve elemezzük a feladatot aszerint, hogy a megadott adatok különböző viszonyától függően hogyan változik a megoldás menete, illetve a megoldások száma.
Az ilyen utólagos értékelés ráirányítja tanulóink figyelmét a problémamegoldás folyamata során hozott döntések értékelésének fontosságára, illetve segíti a megfelelő döntések meghozatalát. Talán ahhoz hasonlítható ez, mint amikor egy ismeretlen városban történő bolyongás után a célba érést követően megnézzük a térképen, merre is jártunk, mikor fordultunk rossz irányba, hol rövidíthettük volna le az utunkat, mikor jártunk legtávolabb a céltól. 6. SZABÁLY: ne sajnáljuk hát az időt megoldott feladatok elemzésére!

A problémákhoz való általános viszonyulás jelentősége                            az oldal tetejére

A problémamegoldó gondolkodás fejlesztésének egyik legelhanyagoltabb területe a matematikai problémákhoz való viszonyulás alakítása. Ez a fogalom viszonylag nehezen érhető tetten a matematikaórákon többek között azért is, mert fejlesztése nem csak tudatos és nem csak tanári tevékenység által, hanem más tevékenységek „melléktermékeként” is megvalósul, ráadásul számtalan pszichológiai vonatkozása is van, amely megnehezíti a fogalom értelmezését, tárgyalását.
Az emberek döntéshozása problémaszituációkban gyakran egyáltalán nem racionális alapokon nyugszik – még a matematikában sem. Sőt megfigyelhető, hogy egyes téves döntéseinket bizonyos típusú helyzetekben következetesen elkövetjük. Az is gyakori, hogy valamely dologról alkotott képünk, modellünk téves, ellentmondást tartalmazó, téves feltételezésből kiinduló, hibás összefüggés felismerésére vagy az érzékelt világ nem megfelelő értelmezésére épülő. Ráadásul a megszokott gondolatmeneteink sokszor kizárólagossá válnak, így szinte saját magunkat akadályozzuk meg a problémahelyzet sikeres megoldásában. Saját világlátásunk meghatározza ötleteink halmazát. 7. SZABÁLY: ezért nagyon fontos az, hogy diákjaink ne csak hibátlan, tökéletesen végiggondolt gondolatmenetekkel találkozzanak, hanem meglepő problémahelyzetekkel, a tanult témakörhöz kapcsolódó paradoxonokkal, hibás levezetésekkel is. Ily módon arra kényszeríthetjük őket, hogy folyamatosan újraértékeljék matematikai szemléletüket, nézőpontjukat.

A tapasztalati tényező                                                                             az oldal tetejére

Az, hogy egy problémát hogyan közelítünk meg, nagyban függ a korábbi tapasztalatainktól. Tapasztalataink alapján támadnak ötleteink, megérzéseink, sejtéseink, és ezek helyességének a valószínűségét is tapasztalataink függvényében ítéljük meg. 8. SZABÁLY: ezért a problémamegoldó gondolkodást fejlesztő tanárnak nagyon tudatosan és nagy körültekintéssel kell összeállítani a diákjai elé kitűzött feladatokat, különösen a feladatok sokszínűsége és a tanulók matematikaszemléletének alakítása szempontjából.
A feladatok sokszínűségének motiváló ereje is lehet a problémamegoldás szempontjából. Azonban arra is ügyelnünk kell, hogy órán ne csak az általunk előre legyártott, néha iskolaszagú problémák kerüljenek terítékre, hanem a diákokhoz közelálló, lehetőleg általuk fölvetett problémákat is tárgyaljunk. 9. SZABÁLY: ezért törekedjünk arra, hogy tanulóink saját maguk is vessenek föl újabb problémákat és igyekezzünk kiaknázni a személyes kötődésüket és motiváltságukat az általuk fölvetett problémához.

A „józan paraszti ész”                                                                            az oldal tetejére

A gyakran használt „józan paraszti ész” kifejezésnek a szakirodalombeli megfelelője a tiszta empiricizmus (pure empiricism). A „józan paraszti ész”-re akkor hivatkozunk, amikor diákunkat korábbi tapasztalatainak bátor használatára buzdítjuk. Ne feledjük azonban, hogy a matematika elvont tantárgy, ezért viszonylag lassan szaporodnak tanulóinkban a matematikai kérdésekkel kapcsolatos tapasztalatok. Ugyanakkor azt se tévesszük szem elől, hogy miközben a matematika művelése egy nagyon dinamikus, induktív, tapasztalati tevékenység is lehet, a matematika mint tudomány deduktív úton építkezik. 10. SZABÁLY: ezért ha feladatmegoldás közben vissza-vissza is térünk néha tapasztalati elemekhez, követeljük meg diákjainktól, hogy a végső megoldást teljesen szabatosan, logikusan egymásra épülő gondolatok füzéreként írják le. Ezzel többek között arra is neveljük, hogy gondolatait tömören közölje, és az általa használt nyelvet igényesen használja.

Összefoglalás                                                                                       az oldal tetejére

Cikkem célja az volt, hogy a problémamegoldó gondolkodás fejlesztéséhez tanácsokat, általános ötleteket fogalmazzak meg. A következő 10 szabályt emelem ki – nem fontossági sorrenben:

1. SZABÁLY: Csak olyan feladatokat adjunk föl diákjainknak, amelyek számukra ismert fogalmakat, fölismerhető összefüggéseket tartalmaznak.
2. SZABÁLY: Tanulóinknál nem csak a gondolkodási tevékenységük eredményét kell ellenőriznünk, hanem hibás gondolatsor esetén fel kell velük fedeztetnünk elkövetett hibáikat.
3. SZABÁLY: Elengedhetetlen a megfelelő számú és minőségű kérdés feltevése, a tanuló párbeszédre kényszerítése.
4. SZABÁLY: Elegendő időt kell biztosítanunk a tanulónak arra, hogy a megfelelő ismereteit alkalmazza, illetve hogy a zsákutcába vezető gondolatait önmaga korrigálja.
5. SZABÁLY: Késztessük vitára tanulóinkat!
6. SZABÁLY: Ne sajnáljuk az időt megoldott feladatok elemzésére!
7. SZABÁLY: Diákjaink találkozzanak meglepő problémahelyzetekkel, a tanult témakörhöz kapcsolódó paradoxonokkal, hibás levezetésekkel is.
8. SZABÁLY: Nagyon tudatosan és nagy körültekintéssel kell összeállítani a diákjaink elé kitűzött feladatokat!
9. SZABÁLY: Késztessük arra tanulóinkat, hogy saját maguk is vessenek föl újabb problémákat!
10. SZABÁLY: Követeljük meg diákjainktól, hogy a végső megoldást teljesen szabatosan, logikusan egymásra épülő gondolatok füzéreként írják le.

A fenti „szabályok” alkalmazása egy sor gyakorlati módszertani kérdést vet föl, de ezek megvitatása meghaladná e cikk terjedelmét.
A feladatmegoldó gondolkodás fejlesztése szempontjából melyik a legfontosabb szabály? – kérdezhetné az olvasó. Pólya György így válaszol: „… de végül is úgy tanulunk meg feladatot megoldani, hogy feladatokat oldunk meg.” És egy másik helyen: „Az igazi siker titka az, hogy a feladatba bele kell vetni egész egyéniségünket.”

Felhasznált irodalom                                                                                az oldal tetejére

1. Dienes Z. (1973): Építsük fel a matematikát. Gondolat, Budapest.
2. Kosztolányi József (2006): A problémamegoldási stratégiák tanításáról. Doktori értekezés. Debreceni Egyetem Természettudományi Kar, Debrecen.
3. Pólya Gy. (1971): A gondolkodás iskolája. Gondolat Kiadó, Budapest.
4. Rényi A. (1966): Dialógusok a matematikáról. Akadémiai Kiadó, Budapest.
5. Schoenfeld, A.H. (1985): Mathematical Problem Solving. Academic Press, Inc., Orlando, Florida.
6. Szendrei J. (2005): Gondolod, hogy egyre megy?. Typotex Kiadó, Budapest.
 

Rezime                                                                                       az oldal tetejére

U ovom članku daju se praktične saveti za nastavnike i profesore matematike za razvijanje veština u rešavanju problema na osnovu rada A.Šenfelda i Đ.Poje.

Ključne reči: rešavanje problema, metodika nastave matematike.